5.1 Transformaciones lineales

Definición: Las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es
decir, con la operación y la acción) de estos espacios.

Aquí se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los
espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la multiplicación por escalares.

Nosotros usaremos el concepto de la función para darle un tratamiento a los sistemas de ecuaciones lineales. La restricción que haremos sera sobre el tipo de funciones: solo estaremos interesados en funciones que preserven las operaciones en el espacio vectorial. Este tipo de funciones serán llamadas funciones lineales. Primeramente las definiremos, veremos algunas propiedades generales y después veremos como se aplican estos resultados a sistemas de ecuaciones.

Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales.
 Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función
T : V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:
         a) T (u + v) = T (u) + T (v)
         b) T (c u) = c T (u)

Demuestre que la transformación T : R2 →R2 definida por                        

es lineal. 
                  

                  

Entonces : 
                    

   

Por otro lado, para todo escalar c, 
                              

          

Como se cumplen las dos condiciones:      
                      

     

T es lineal.

Una transformación lineal preserva combinaciones lineales. Veremos que, debido a esto, una transformación lineal queda unívoca-mente determinada por los valores que toma en los elementos de una base cualquiera de su dominio.

Espacios vectoriales

Comenzamos definiendo un campo y un espacio vectorial sobre un campo (es común observar que un campo es en particular un grupo abeliano ). Los ejemplos típicos de campos son el campo de los números reales R, el campo de los números complejos C y para cada número primo p en Z, el campo de los enteros módulo p, Z_p. Los ejemplos típicos de espacios vectoriales son Rⁿ sobre el campo R, Cⁿ sobre el campo C (en general, Fⁿ sobre cualquier campo F), al igual que los siguientes ejemplos con las correspondientes operaciones usuales de suma y multiplicación por escalares:

• Polinomios con coeficientes en un campo F

P(F) = {a₀ + a₁t + a₂t² + ... + a_ntⁿ | a_i Î F y n Î N}

• Funciones de un conjunto X en un campo F

F(S, F) = {f : X ® F | f es una función}

• Funciones continuas de un espacio topológico X en un campo F con una topología en él definida

C(X, F) = {f : X ® F | f es una función continua}

• Matrices de n x m con entradas en un espacio vectorial V sobre un campo F

Mn x m(V) = {(

a1,1 ... a1,m : : an,1 ... an,m

) | ai,j Î V, con 1 £ i £ n y 1 £ j £ m}

Las siguientes son propiedades elementales de un espacio vectorial V sobre un campo F cuyas pruebas se dejan como ejercicios:

1. (Ley de la cancelación) Si x, y, z Î V y x + z = y + z, entonces x = y
2. El vector 0 es único con la propiedad de que para toda x Î V, x + 0 = x
3. Para toda x Î V, 0x = 0
4. Para todo a Î F y x Î V, (-a)x = -(ax)
5. Para toda a Î F, a0 = 0

Se define un subespacio de un espacio vectorial V sobre un campo F y es un ejercicio demostrar que un subconjunto W Í V es un subespacio si y sólo si para todos a, b ÎF y x, y Î V, ax + by Î V. Dos ejemplos de subespacios son los subconjuntos de M_n x n(V) formados por matrices (1) simétricas, (2) diagonales y (3) con traza igual a cero. Es claro que la intersección de dos (y por lo tanto de cualesquiera) subespacios de V resulta en un subespacio de V. Sin embargo, esto no sucede con la unión (como ejemplo tómense cualesquiera dos rectas distintas en R² que pasen por el origen).

Dado un subconjuntos S de un espacio vectorial V sobre un campo F, denotamos por <S> al subespacio generado por S, y se demuestra fácilmente que <S> es precisamente el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de S, es decir,

<S> = {a₁x₁ + ... + a_nx_n | n Î N, a_i Î F y x_i Î V}.

Definimos la suma de un número finito de subconjuntos S₁, ..., S_n de un espacio vectorial V sobre un campo F y se verifica directamente que si W₁, ..., W_n £ V, entonces

W₁ + ... + W_n = <W₁ È ... È W_n>

Se define el que un espacio vectorial V sea la suma directa de dos de sus subespacios W₁, W₂ £ V, y es fácil ver que éste es el caso si y sólo si para cada z en V, existen únicos x Î W₁ y y Î W₂ tales que z = x + y).

Definimos el que un subconjunto S Í V sea un subconjunto generador. Definimos también (in)dependencia lineal y finalmente se define una base como aquellos subconjuntos generadores de V que son linealmente independiente. Las bases se distinguen como subconjuntos generadores en el sentido de que la combinación lineal correspondiente a cada vector es única.

Para definir la dimensión de un espacio vectorial V sobre un campo F, primero observamos que si S Í V y x Î V - S, entonces el conjunto S È {x} es linealmente dependiente si y sólo si x está en L(S). Este hecho se usa para demostrar el siguiente resultado.

TEOREMA I.1 Si V está generado por un subconjunto finito S, entonces podemos extraer de S una base para V, y por lo tanto V posee una base finita.

Demostración

TEOREMA I.2 Si b es una base de V con exactamente n elementos y S es un subconjunto de V linealmente independiente con m elementos, donde m £ n, entonces siempre podemos encontrar un subconjunto S₀ Í b con exáctamente n - m elementos de forma tal que L(S È S₀) = V.

Sistema de ecuaciones lineales

Un problema fundamental que aparece en matem´aticas y en otras ciencias es el an´alisis y resoluci´on de m ecuaciones algebraicas con n inc´ognitas. El estudio de un sistema de ecuaciones lineales simult´aneas est´a ´ıntimimamente ligado al estudio de una matriz rectangular de n´umeros definida por los coeficientes de las ecuaciones. Esta relaci´on parece que se ha notado desde el momento en que aparecieron estos problemas. El primer an´alisis registrado de ecuaciones simult´aneas lo encontramos en el libro chino Jiu zhang Suan-shu (Nueve Cap´ıtulos sobre las artes matematicas ´ ), (v´ease McTutor y Carlos Maza) escrito alrededor del 200 a.C. Al comienzo del cap´ıtulo VIII, aparece un problema de la siguiente forma: Tres gavillas de buen cereal, dos gavillas de cereal mediocre y una gavilla de cereal malo se venden por 39 dou. Dos gavillas de bueno, tres mediocres y una mala se venden por 34 dou. Y una buena, dos mediocres y tres malas se venden por 26 dou. ¿Cual es el ´ precio recibido por cada gavilla de buen cereal, cada gavilla de cereal mediocre, y cada gavilla de cereal malo? Hoy en d´ıa, este problema lo formular´ıamos como un sistema de tres ecuaciones con tres inc´ognitas: 3x + 2y + z = 39, 2x + 3y + z = 34, x + 2y + 3z = 26, donde x, y y z representan el precio de una gavilla de buen, mediocre y mal cereal, respectivamente. Los chinos vieron el problema esencial. Colocaron los coeficientes de este sistema, representados por ca˜nas de bamb´u de color, como un cuadrado sobre un tablero de contar (similar a un ´abaco), y manipulaban las filas del cuadrado seg´un ciertas reglas establecidas. Su tablero de contar y sus reglas encontraron su camino hacia Jap´on y finalmente aparecieron en Europa, con las ca˜nas de color sustituidas por n´umeros y el tablero reemplazado por tinta y papel. En Europa, esta t´ecnica lleg´o a ser conocida como eliminacion Gaussiana ´ , en honor del matem´atico alem´an Carl F. Gauss

Matrices y Determinantes

En Matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

donald en el mundo de las matematicas

1.6 Ecuaciones polinomicas

Los números complejos surgen ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones de las ecuaciones polinómicas de tipo

Dados los valores apropiados de los coeficientes an a a0 , esta ecuación tendrá n soluciones reales si que permitirán reescribir el polinomio de la siguiente forma:

Sin embargo, ecuaciones incluso tan sencillas como x2 + 1 = 0 desafían esta regla, ya que su solución, que teóricamente vendría dada por

que no existe en el campo de los reales ya que la raíz cuadrada no está definida para argumentos negativos. 

Los números complejos sin embargo permiten ampliar aún más el concepto de "número", definiendo la unidad imaginaria o i como i = raíz de -1, lo que significaría que la ecuación anterior sí tendría dos soluciones, que serían x1= i y x2= - i.

La introducción de los números complejos permite probar el teorema fundamental del álgebra, que dice que cualquier ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

De esta manera, se define genéricamente un número complejo como un número compuesto por dos partes, una parte real a y una parte imaginaria b, escribiéndose como sigue: z = a + bi.

Por ejemplo, 2-3i, 4+8i, 3-πi, etc. 

Con los números complejos se opera como se operaría con productos de sumas ordinarios, teniendo en cuenta siempre que i2 = -1: (a + bi)(c + di) = ac +adi +bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad+bc)i.

La división es un poco más sofisticada debido a la necesidad de eliminar la unidad imaginaria del de nominador de la fracción:

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejos

La formula  Z . W = |z| . |W| (cos (θ + µ) + i sen (θ + µ)) puede ser utilizada para hallar la potencia enésima de un numero complejo. 

Supongamos que Z = |Z| ( cos θ + isen θ ), y n es un entero positivo, entonces se obtiene:

Esta relación, que se conoce con el nombre de Formula de Moivre, y proporciona un algoritmo bastante eficiente para hallar la potencia enésima de cualquier numero complejo en forma polar.

Ejemplo. Sea Z = 2 (cos30° + i sen30°). 

Calcule la potencia de orden cinco de este numero, es decir, Z5.

EXTRACCIÓN DE LAS RAICES DE UN NÚMERO COMPLEJO.

 

Si Z es un número complejo tal que para algún entero positivo se tenga: 

 

donde W es otro número complejo, entonces se dice que W es una raíz enésima de
Z. Esto lo denotamos por: 

En los números reales, todo número posee una raíz de orden impar y dos raíces de orden par. En los complejos hay una mayor abundancia de raíces . Concretamente, se tiene la siguiente propiedad:

Todo número complejo tiene exactamente n reices n - esimas. Así por ejemplo 1 tiene 4 raíces cuartas, pues: 

Luego 1, -1, i, y -i son las reices cuartas de 1. 

A continuación damos una fórmula para hallar las raíces de un número complejo. Sea Z = |Z|(cos θ + i sen θ).

 

Si representamos gráficamente estas tres raíces, veremos que se hallan sobre unacircunferencia con centro en el origen y radio 2 . Además todas ellas están a la misma distancia de las otras: formando los vértices de un triángulo equilatero, tal como puede verse ne la figura siguiente: 

Ejemplo. Hallar todas las raÍces sextas de la unidad.

Solución. Tomamos la representación en forma polar de 1, la cual viene dada por: 1 = 1 (cos0° + i sen 0°), luego hallamos las raíces sextas mediante la fórmula dada para la obtención de las raíces de un número complejo: 

 

con k = 0,1,2,3,4, y 5.

Estos valores de k nos dan las seis raíces:

W1 = 1(cos 0° + i sen 0°) k = 0
W2 = 1(cos 60° + i sen 60°) k = 1
W3 = 1(cos120° + i sen120°) k = 2
W4 = 1(cos180° + i sen180°) k = 3
W5 = 1(cos240° + i sen240°) k = 4
W6 = 1(cos300° + i sen300°) k = 5
 

Si las graficamos en el plano complejo, vemos que ellas ocupan los vértices de un
hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 1.

 

EJERCICIOS PROPUESTOS