5.1 Transformaciones lineales

Definición: Las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es
decir, con la operación y la acción) de estos espacios.

Aquí se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los
espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la multiplicación por escalares.

Nosotros usaremos el concepto de la función para darle un tratamiento a los sistemas de ecuaciones lineales. La restricción que haremos sera sobre el tipo de funciones: solo estaremos interesados en funciones que preserven las operaciones en el espacio vectorial. Este tipo de funciones serán llamadas funciones lineales. Primeramente las definiremos, veremos algunas propiedades generales y después veremos como se aplican estos resultados a sistemas de ecuaciones.

Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales.
 Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función
T : V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:
         a) T (u + v) = T (u) + T (v)
         b) T (c u) = c T (u)

Demuestre que la transformación T : R2 →R2 definida por                        

es lineal. 
                  

                  

Entonces : 
                    

   

Por otro lado, para todo escalar c, 
                              

          

Como se cumplen las dos condiciones:      
                      

     

T es lineal.

Una transformación lineal preserva combinaciones lineales. Veremos que, debido a esto, una transformación lineal queda unívoca-mente determinada por los valores que toma en los elementos de una base cualquiera de su dominio.

Espacios vectoriales

Comenzamos definiendo un campo y un espacio vectorial sobre un campo (es común observar que un campo es en particular un grupo abeliano ). Los ejemplos típicos de campos son el campo de los números reales R, el campo de los números complejos C y para cada número primo p en Z, el campo de los enteros módulo p, Z_p. Los ejemplos típicos de espacios vectoriales son Rⁿ sobre el campo R, Cⁿ sobre el campo C (en general, Fⁿ sobre cualquier campo F), al igual que los siguientes ejemplos con las correspondientes operaciones usuales de suma y multiplicación por escalares:

• Polinomios con coeficientes en un campo F

P(F) = {a₀ + a₁t + a₂t² + ... + a_ntⁿ | a_i Î F y n Î N}

• Funciones de un conjunto X en un campo F

F(S, F) = {f : X ® F | f es una función}

• Funciones continuas de un espacio topológico X en un campo F con una topología en él definida

C(X, F) = {f : X ® F | f es una función continua}

• Matrices de n x m con entradas en un espacio vectorial V sobre un campo F

Mn x m(V) = {(

a1,1 ... a1,m : : an,1 ... an,m

) | ai,j Î V, con 1 £ i £ n y 1 £ j £ m}

Las siguientes son propiedades elementales de un espacio vectorial V sobre un campo F cuyas pruebas se dejan como ejercicios:

1. (Ley de la cancelación) Si x, y, z Î V y x + z = y + z, entonces x = y
2. El vector 0 es único con la propiedad de que para toda x Î V, x + 0 = x
3. Para toda x Î V, 0x = 0
4. Para todo a Î F y x Î V, (-a)x = -(ax)
5. Para toda a Î F, a0 = 0

Se define un subespacio de un espacio vectorial V sobre un campo F y es un ejercicio demostrar que un subconjunto W Í V es un subespacio si y sólo si para todos a, b ÎF y x, y Î V, ax + by Î V. Dos ejemplos de subespacios son los subconjuntos de M_n x n(V) formados por matrices (1) simétricas, (2) diagonales y (3) con traza igual a cero. Es claro que la intersección de dos (y por lo tanto de cualesquiera) subespacios de V resulta en un subespacio de V. Sin embargo, esto no sucede con la unión (como ejemplo tómense cualesquiera dos rectas distintas en R² que pasen por el origen).

Dado un subconjuntos S de un espacio vectorial V sobre un campo F, denotamos por <S> al subespacio generado por S, y se demuestra fácilmente que <S> es precisamente el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de S, es decir,

<S> = {a₁x₁ + ... + a_nx_n | n Î N, a_i Î F y x_i Î V}.

Definimos la suma de un número finito de subconjuntos S₁, ..., S_n de un espacio vectorial V sobre un campo F y se verifica directamente que si W₁, ..., W_n £ V, entonces

W₁ + ... + W_n = <W₁ È ... È W_n>

Se define el que un espacio vectorial V sea la suma directa de dos de sus subespacios W₁, W₂ £ V, y es fácil ver que éste es el caso si y sólo si para cada z en V, existen únicos x Î W₁ y y Î W₂ tales que z = x + y).

Definimos el que un subconjunto S Í V sea un subconjunto generador. Definimos también (in)dependencia lineal y finalmente se define una base como aquellos subconjuntos generadores de V que son linealmente independiente. Las bases se distinguen como subconjuntos generadores en el sentido de que la combinación lineal correspondiente a cada vector es única.

Para definir la dimensión de un espacio vectorial V sobre un campo F, primero observamos que si S Í V y x Î V - S, entonces el conjunto S È {x} es linealmente dependiente si y sólo si x está en L(S). Este hecho se usa para demostrar el siguiente resultado.

TEOREMA I.1 Si V está generado por un subconjunto finito S, entonces podemos extraer de S una base para V, y por lo tanto V posee una base finita.

Demostración

TEOREMA I.2 Si b es una base de V con exactamente n elementos y S es un subconjunto de V linealmente independiente con m elementos, donde m £ n, entonces siempre podemos encontrar un subconjunto S₀ Í b con exáctamente n - m elementos de forma tal que L(S È S₀) = V.