Sistema de ecuaciones lineales

Un problema fundamental que aparece en matem´aticas y en otras ciencias es el an´alisis y resoluci´on de m ecuaciones algebraicas con n inc´ognitas. El estudio de un sistema de ecuaciones lineales simult´aneas est´a ´ıntimimamente ligado al estudio de una matriz rectangular de n´umeros definida por los coeficientes de las ecuaciones. Esta relaci´on parece que se ha notado desde el momento en que aparecieron estos problemas. El primer an´alisis registrado de ecuaciones simult´aneas lo encontramos en el libro chino Jiu zhang Suan-shu (Nueve Cap´ıtulos sobre las artes matematicas ´ ), (v´ease McTutor y Carlos Maza) escrito alrededor del 200 a.C. Al comienzo del cap´ıtulo VIII, aparece un problema de la siguiente forma: Tres gavillas de buen cereal, dos gavillas de cereal mediocre y una gavilla de cereal malo se venden por 39 dou. Dos gavillas de bueno, tres mediocres y una mala se venden por 34 dou. Y una buena, dos mediocres y tres malas se venden por 26 dou. ¿Cual es el ´ precio recibido por cada gavilla de buen cereal, cada gavilla de cereal mediocre, y cada gavilla de cereal malo? Hoy en d´ıa, este problema lo formular´ıamos como un sistema de tres ecuaciones con tres inc´ognitas: 3x + 2y + z = 39, 2x + 3y + z = 34, x + 2y + 3z = 26, donde x, y y z representan el precio de una gavilla de buen, mediocre y mal cereal, respectivamente. Los chinos vieron el problema esencial. Colocaron los coeficientes de este sistema, representados por ca˜nas de bamb´u de color, como un cuadrado sobre un tablero de contar (similar a un ´abaco), y manipulaban las filas del cuadrado seg´un ciertas reglas establecidas. Su tablero de contar y sus reglas encontraron su camino hacia Jap´on y finalmente aparecieron en Europa, con las ca˜nas de color sustituidas por n´umeros y el tablero reemplazado por tinta y papel. En Europa, esta t´ecnica lleg´o a ser conocida como eliminacion Gaussiana ´ , en honor del matem´atico alem´an Carl F. Gauss

Matrices y Determinantes

En Matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

donald en el mundo de las matematicas

1.6 Ecuaciones polinomicas

Los números complejos surgen ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones de las ecuaciones polinómicas de tipo

Dados los valores apropiados de los coeficientes an a a0 , esta ecuación tendrá n soluciones reales si que permitirán reescribir el polinomio de la siguiente forma:

Sin embargo, ecuaciones incluso tan sencillas como x2 + 1 = 0 desafían esta regla, ya que su solución, que teóricamente vendría dada por

que no existe en el campo de los reales ya que la raíz cuadrada no está definida para argumentos negativos. 

Los números complejos sin embargo permiten ampliar aún más el concepto de "número", definiendo la unidad imaginaria o i como i = raíz de -1, lo que significaría que la ecuación anterior sí tendría dos soluciones, que serían x1= i y x2= - i.

La introducción de los números complejos permite probar el teorema fundamental del álgebra, que dice que cualquier ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

De esta manera, se define genéricamente un número complejo como un número compuesto por dos partes, una parte real a y una parte imaginaria b, escribiéndose como sigue: z = a + bi.

Por ejemplo, 2-3i, 4+8i, 3-πi, etc. 

Con los números complejos se opera como se operaría con productos de sumas ordinarios, teniendo en cuenta siempre que i2 = -1: (a + bi)(c + di) = ac +adi +bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad+bc)i.

La división es un poco más sofisticada debido a la necesidad de eliminar la unidad imaginaria del de nominador de la fracción:

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejos

La formula  Z . W = |z| . |W| (cos (θ + µ) + i sen (θ + µ)) puede ser utilizada para hallar la potencia enésima de un numero complejo. 

Supongamos que Z = |Z| ( cos θ + isen θ ), y n es un entero positivo, entonces se obtiene:

Esta relación, que se conoce con el nombre de Formula de Moivre, y proporciona un algoritmo bastante eficiente para hallar la potencia enésima de cualquier numero complejo en forma polar.

Ejemplo. Sea Z = 2 (cos30° + i sen30°). 

Calcule la potencia de orden cinco de este numero, es decir, Z5.

EXTRACCIÓN DE LAS RAICES DE UN NÚMERO COMPLEJO.

 

Si Z es un número complejo tal que para algún entero positivo se tenga: 

 

donde W es otro número complejo, entonces se dice que W es una raíz enésima de
Z. Esto lo denotamos por: 

En los números reales, todo número posee una raíz de orden impar y dos raíces de orden par. En los complejos hay una mayor abundancia de raíces . Concretamente, se tiene la siguiente propiedad:

Todo número complejo tiene exactamente n reices n - esimas. Así por ejemplo 1 tiene 4 raíces cuartas, pues: 

Luego 1, -1, i, y -i son las reices cuartas de 1. 

A continuación damos una fórmula para hallar las raíces de un número complejo. Sea Z = |Z|(cos θ + i sen θ).

 

Si representamos gráficamente estas tres raíces, veremos que se hallan sobre unacircunferencia con centro en el origen y radio 2 . Además todas ellas están a la misma distancia de las otras: formando los vértices de un triángulo equilatero, tal como puede verse ne la figura siguiente: 

Ejemplo. Hallar todas las raÍces sextas de la unidad.

Solución. Tomamos la representación en forma polar de 1, la cual viene dada por: 1 = 1 (cos0° + i sen 0°), luego hallamos las raíces sextas mediante la fórmula dada para la obtención de las raíces de un número complejo: 

 

con k = 0,1,2,3,4, y 5.

Estos valores de k nos dan las seis raíces:

W1 = 1(cos 0° + i sen 0°) k = 0
W2 = 1(cos 60° + i sen 60°) k = 1
W3 = 1(cos120° + i sen120°) k = 2
W4 = 1(cos180° + i sen180°) k = 3
W5 = 1(cos240° + i sen240°) k = 4
W6 = 1(cos300° + i sen300°) k = 5
 

Si las graficamos en el plano complejo, vemos que ellas ocupan los vértices de un
hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 1.

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.4 Forma polar y exponencial de un numero complejo

Forma Polar

Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo z = x + iy. Como

x = r cos θ    e    y = r sen θ

z puede ser expresado en forma polar como

z = r(cosθ + i senθ).

En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo, θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos.

Forma exponencial

La ecuación

e^iθ = cos θ + i sen θ

que define el simbolo e^iθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Si escribimos un número Forma Polar

Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo z = x + iy. Como

x = r cos θ    e    y = r sen θ

z puede ser expresado en forma polar como

z = r(cosθ + i senθ).

En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo, θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos.

Forma exponencial

La ecuación

eiθ = cos θ + i sen θ

que define el simbolo eiθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar

z = r(cos θ + i sen θ),

la fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial:

z = reiθ no nulo en forma polar

z = r(cos θ + i sen θ),

la fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial:

z = re^iθ

1.3 Potencias de ''i'', modulo o valor absoluto en un numero complejo

=Potencias de la unidad imaginaria=

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = −1

i³ = −i

i⁴ = 1

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

=Ejemplo

i²²

i²² = (i⁴)⁵ · i² = − 1

=Valor absoluto=

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión: Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano. Si el complejo está escrito en forma polar z = r eiφ, entonces |z| = r. Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto para cualquier complejo z y w. Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.